最速降线曲线
最速降线（Brachistochrone）
最速降线是指在重力作用下，从点 A 到点 B 物体运动时间最短的曲线。
运动时间公式：
\[ T = \int_{x_A}^{x_B} \frac{\sqrt{1 + [y'(x)]^2}}{\sqrt{2g(y_A - y(x))}} \, dx \]
泛函与欧拉-拉格朗日方程
泛函定义：
\[ I[y] = \int_{x_1}^{x_2} f(x, y, y') \, dx \]
对泛函进行微扰：
\[ Y = y + \epsilon \delta(x), \quad \delta(x_1) = \delta(x_2) = 0 \]
\[ I[y + \epsilon \delta(x)] = \int_{x_1}^{x_2} f(x, Y, Y') \, dx \]
取极值的必要条件：
\[ \left. \frac{d}{d\epsilon} I[y+\epsilon \delta(x)] \right|_{\epsilon=0} = 0 \]
\[ \frac{dF(\epsilon)}{d\epsilon} = \int_{x_1}^{x_2} \left[ \frac{\partial f}{\partial Y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial f}{\partial Y'} \right) \right] \delta(x) \, dx = 0 \]
对任意 \(\delta(x)\)，得到欧拉-拉格朗日方程：
\[ \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial f}{\partial y'} \right) = 0 \]
贝尔特拉米积分（Beltrami Identity）
如果 \(F(y, y')\) 不显含 \(x\)，满足欧拉-拉格朗日方程：
\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) = \frac{\partial F}{\partial y} \]
定义：
\[ E = F - y' \frac{\partial F}{\partial y'} \]
得：
\[ F - y' \frac{\partial F}{\partial y'} = C \]
最速降线求解
泛函：
\[ L(y, y') = \frac{\sqrt{1 + y'^2}}{\sqrt{2g(y_A - y)}} \]
由于不显含 \(x\)，使用贝尔特拉米积分：
\[ \frac{\partial L}{\partial y'} = \frac{y'}{\sqrt{2g(y_A - y)} \sqrt{1 + y'^2}} \]
解得：
\[ 1 + y'^2 = \frac{1}{2gC^2 (y_A - y)} \]
令 \(y = y_A - u\)：
\[ \sqrt{\frac{u}{\frac{1}{2gC^2} - u}} \, du = dx \]
令 \(v = 2gC^2 u\)：
\[ dx = \frac{1}{2gC^2} \sqrt{\frac{v}{1 - v}} \, dv \]
令 \(v = \sin^2 \theta\) 并积分：
\[ x = \frac{1}{2gC^2} \int 2 \sin^2 \theta \, d\theta = \frac{1}{2gC^2} \left( \theta - \frac{\sin 2\theta}{2} \right) + D \]
\[ y = y_A - \frac{\sin^2 \theta}{2gC^2} \]
最终可写成摆线方程：
\[ x = a (\theta - \sin \theta) + x_A \]
\[ y = -a (1 - \cos \theta) + y_A \]
\[ a = \frac{1}{4 g C^2} \]
其中 \(a\) 为滚动圆半径1。