一些数学公式

1. n 阶带拉格朗日余项的泰勒展开式

公式：

$$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}, \quad \xi \in (x_0, x)$$

说明：

• 前半部分是 n 阶泰勒多项式
• 后半部分是拉格朗日余项，表示截断误差

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2. 欧拉公式

$$e^{ix} = \cos x + i \sin x$$

说明：

• 连接复指数函数与三角函数
• 是复数分析和信号处理的基础

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3. 向量运算基础

内积（点积）：

$$\langle x, y \rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n$$

向量模长：

$$\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$$

向量距离：

$$d(x, y) = \|x - y\|$$

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4. 最小二乘法（Least Squares Method）

目标函数：

$$\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \left(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}\right)^2 = \delta$$

$$\sum_{i=1}^n \left[h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}\right]^2 = (X\theta - y)^T (X\theta - y)$$

求解公式：

$$h_\theta(x) = X \theta, \quad y = y$$

$$(X\theta - y)^T (X\theta - y) = \delta$$

$$2 X^T (X\theta - y) = 0$$

$$X^T X \theta = X^T y$$

$$\theta = (X^T X)^{-1} X^T y$$

参考资料：

• 最小二乘法（least square method）
• 一文让你彻底搞懂最小二乘法（超详细推导）

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